Introduction aux Matrices

Une matrice est un ensemble de nombres disposés en lignes et en colonnes pour former un tableau rectangulaire. Elle a une taille déterminée par le nombre de lignes et de colonnes qu'elle contient.

Exemples de Tailles de Matrices

• Taille de Matrice Vecteur: Une matrice avec une seule ligne ou une seule colonne. Par exemple, un vecteur ligne v de taille \( 1 \times n \) ou un vecteur colonne w de taille \( m \times 1 \).

  \[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix} \]

  \[ \mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_m \end{bmatrix} \]

• Taille de Matrice Colonne: Aussi connue sous le nom de vecteur colonne, elle a une taille de \( m \times 1 \).

  \[ \mathbf{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_m \end{bmatrix} \]

• Taille de Matrice Carrée: Une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnes, c'est-à-dire \( n \times n \).

  \[ \mathbf{S} = \begin{bmatrix} s_{1,1} & s_{1,2} & \cdots & s_{1,n} \\ s_{2,1} & s_{2,2} & \cdots & s_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ s_{n,1} & s_{n,2} & \cdots & s_{n,n} \end{bmatrix} \]

Pour une matrice \( A = (a_{i,j}) \), un élément dans la \( i \)-ème ligne et la \( j \)-ème colonne est noté \( a_{i,j} \).

Opérations sur les Matrices

Addition

La somme de deux matrices de même taille est obtenue en additionnant leurs éléments correspondants.

Définition: Étant donné les matrices \( A = (a_{i,j}) \) et \( B = (b_{i,j}) \), leur somme \( C = A + B \) est donnée par:

\[ c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j} \]

Exemple:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}, \quad A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]

Multiplication

Le produit de deux matrices \( A \) et \( B \) est défini uniquement si le nombre de colonnes de \( A \) est égal au nombre de lignes de \( B \).

Définition: Étant donné les matrices \( A \) de taille \( m \times n \) et \( B \) de taille \( n \times p \), leur produit \( C = AB \) est une matrice de taille \( m \times p \) où:

\[ c_{i,j} = \sum_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,j} \]

Exemple:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad AB = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]

Inversion

L'inverse d'une matrice \( A \) est noté \( A^{-1} \), et il satisfait \( AA^{-1} = A^{-1}A = I \), où \( I \) est la matrice identité.

Définition: Pour une matrice carrée \( A \), s'il existe une matrice \( B \) telle que \( AB = BA = I \), alors \( B \) est appelée l'inverse de \( A \).

Exemple:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

Ici, \(\text{det}(A) = ad - bc\).

Multiplication Scalaire

Le produit d'une matrice \( A \) par un scalaire \( \alpha \) est une matrice où chaque élément de \( A \) est multiplié par \( \alpha \).

Définition : Étant donnée une matrice \( A = (a_{i,j}) \) et un scalaire \( \alpha \), le produit \( B = \alpha A \) est donné par :

\[ b_{i,j} = \alpha \cdot a_{i,j} \]

Exemple :

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad \alpha = 3, \quad \alpha A = 3 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} \]

Transposée d'une Matrice

La transposée d'une matrice, notée \( A^T \), est obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice originale \( A \). Autrement dit, l'élément à la \( i \)-ème ligne et \( j \)-ème colonne de \( A \) devient l'élément à la \( j \)-ème ligne et \( i \)-ème colonne de \( A^T \). Si \( A \) est une matrice \( m \times n \), alors \( A^T \) sera une matrice \( n \times m \).

Sous-matrice

Une sous-matrice est une matrice formée en supprimant certaines lignes et/ou colonnes d'une matrice plus grande.

Définition : Étant donnée une matrice \( A \), une sous-matrice est obtenue en supprimant certaines lignes et colonnes spécifiques.

Exemple :

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}, \quad \text{En supprimant la 1ère ligne et la 2ème colonne :} \quad A' = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{bmatrix} \]

Types de Matrices

Dans divers calculs et applications mathématiques, nous rencontrons certains types de matrices. Voici les plus importants :

Matrice Diagonale

Une matrice diagonale est une matrice carrée dans laquelle tous les éléments hors de la diagonale principale sont nuls. Les éléments sur la diagonale principale peuvent être soit nuls soit non nuls.

Exemple :

\[ D = \begin{bmatrix} d_{11} & 0 & 0 \\ 0 & d_{22} & 0 \\ 0 & 0 & d_{33} \end{bmatrix} \]

Ici, \( d_{ij} = 0 \) pour tous \( i \neq j \).

Matrice Triangulaire

Une matrice triangulaire est un type spécial de matrice carrée où tous les éléments au-dessus ou en dessous de la diagonale principale sont nuls. Il existe deux types de matrices triangulaires :

• Matrice Triangulaire Supérieure : Tous les éléments en dessous de la diagonale principale sont nuls.
• Matrice Triangulaire Inférieure : Tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls.

Exemple :

Matrice Triangulaire Supérieure :

\[ U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix} \]

Matrice Triangulaire Inférieure :

\[ L = \begin{bmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{bmatrix} \]

Matrice Symétrique

Une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa transposée. Autrement dit, \( A = A^T \), où \( A^T \) est la transposée de \( A \).

Exemple :

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \end{bmatrix} \]

Ici, \( a_{ij} = a_{ji} \) pour tous \( i \) et \( j \).

Valeurs Propres et Vecteurs Propres

Les valeurs propres et les vecteurs propres sont des concepts fondamentaux en algèbre linéaire, notamment dans l'étude des transformations linéaires. Étant donnée une matrice carrée \( A \), un vecteur propre \( \mathbf{v} \) est un vecteur non nul qui, multiplié par \( A \), donne un vecteur qui est un multiple scalaire de \( \mathbf{v} \). Mathématiquement, cela s'exprime ainsi :

\[ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \]

où \( \lambda \) est un scalaire connu sous le nom de valeur propre correspondant au vecteur propre \( \mathbf{v} \). Les valeurs propres sont trouvées en résolvant l'équation caractéristique :

\[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \]

où \( I \) est la matrice identité de même taille que \( A \).

Exemple

Considérons la matrice :

\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \]

Pour trouver les valeurs propres, résolvez l'équation caractéristique :

\[ \text{det}\left( \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} \right) = 0 \implies \text{det}\left( \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} \right) = 0 \]

La résolution de ce déterminant donne les valeurs propres \( \lambda_1 = 5 \) et \( \lambda_2 = 2 \).

Les vecteurs propres correspondants peuvent être trouvés en substituant chaque valeur propre dans l'équation \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \) et en résolvant pour \( \mathbf{v} \).